Логика, аргументы и софизмы
Изоморфизм и гомоморфизм
Отношения одинаковости и подобия структуры систем, позволяющие переносить знания между моделью, образом и оригиналом.
Краткое введение
Изоморфизм и гомоморфизм — понятия, выражающие два типа структурного соответствия между системами. Изоморфизм означает взаимооднозначное соответствие элементов, свойств, функций и отношений, позволяющее рассматривать системы как структурно одинаковые. Гомоморфизм слабее: соответствие действует в одном направлении и допускает потерю части структуры. Понятие важно потому, что лежит в основе моделирования, переноса знания, работы с картами, переводами, образами, математическими структурами и научными теориями.
Развернутое чтение
Изоморфизм и гомоморфизм — понятия, описывающие структурное сходство систем. Они используются в математике, логике, методологии науки, теории моделей, семиотике и философии познания.
Изоморфизм означает одинаковость формы. Две системы называются изоморфными, если между их элементами, свойствами, отношениями, функциями или операциями можно установить взаимооднозначное соответствие.
В случае изоморфизма каждая система может быть рассмотрена как структурный образ другой. Если мы знаем одну систему, то можем переносить знания на другую, потому что их отношения устроены одинаково.
Гомоморфизм является более слабым отношением. Здесь соответствие однозначно только в одном направлении: каждому элементу первой системы соответствует элемент второй, но одному элементу второй может соответствовать несколько элементов первой.
Поэтому всякий изоморфизм является гомоморфизмом, но не всякий гомоморфизм является изоморфизмом. Изоморфизм ближе к равенству структуры, гомоморфизм — к подобию, отображению, сокращённому или упрощённому образу.
Примеры гомоморфизма встречаются в повседневных моделях. Географическая карта отображает местность, но не содержит всего, что есть на местности. По карте можно переносить некоторые знания на территорию, но нельзя заключать, что всё существующее на территории есть на карте.
Изоморфизм и гомоморфизм важны для понимания научной модели. Модель не обязана быть копией объекта во всех отношениях. Она должна сохранять те структурные связи, которые существенны для данной задачи и позволяют делать обоснованные выводы.
Методологическое значение этих понятий связано с переносом знания. При изоморфизме перенос может быть более полным; при гомоморфизме — осторожным и направленным. Ошибка начинается там, где гомоморфный образ принимают за полное совпадение с оригиналом.
Ценность различения изоморфизма и гомоморфизма в том, что оно учит точности моделирования. Модель может быть верной не потому, что повторяет всё, а потому, что правильно сохраняет нужную структуру.
Изоморфизм обещает структурное равенство; гомоморфизм напоминает, что карта может вести к местности, но не заменяет её целиком.