Логика, аргументы и софизмы
Принцип объёмности / экстенсиональности
Принцип, согласно которому множества с одними и теми же элементами равны, а понятия могут отождествляться по совпадению объёма.
Краткое введение
Принцип объёмности, или экстенсиональности, утверждает, что два множества, состоящие из одних и тех же элементов, являются равными. В логике он переносится на предикаты, свойства и понятия: если они имеют один и тот же объём, их можно считать неразличимыми в определённом экстенсиональном смысле. Понятие важно потому, что показывает силу и границу формального мышления: совпадение объёма позволяет отождествлять классы, но не всегда исчерпывает смысл, способ задания и интенсиональное содержание понятия.
Развернутое чтение
Принцип объёмности, или экстенсиональности, — один из базовых принципов теории множеств и логики. Он утверждает: два множества равны тогда и только тогда, когда состоят из одних и тех же элементов.
С точки зрения теории множеств это кажется почти очевидным. Если в одном классе находятся ровно те же элементы, что и в другом, и нет ни одного отличающегося элемента, то перед нами не два разных множества, а одно и то же множество, заданное, возможно, разными способами.
В логике этот принцип переносится на предикаты, свойства, отношения и понятия. Два предиката можно считать экстенсионально неразличимыми, если им соответствует один и тот же объём, то есть один и тот же класс объектов.
Например, два разных описания могут выделять одну и ту же группу предметов. Если каждый объект, подпадающий под первое понятие, подпадает и под второе, а каждый объект второго — под первое, их объёмы совпадают.
Однако здесь возникает важное различие между экстенсией и интенсией. Экстенсия — это объём, множество объектов. Интенсия — смысл, способ задания, содержание признака. Понятия могут иметь одинаковый объём, но разный смысл.
Именно поэтому принцип экстенсиональности мощен в формальных системах, но ограничен в естественном языке и философии. В математике совпадение элементов достаточно для равенства множеств; в языке один и тот же объект может мыслиться под разными описаниями.
Напряжение между объёмом и смыслом лежит в основе многих семантических проблем. Можно знать один способ задания объекта и не знать другой, хотя экстенсионально речь идёт о том же самом предмете.
Принцип объёмности важен для строгости формального анализа. Он позволяет убирать несущественные различия способов описания, когда важен только набор элементов. Но он становится недостаточным там, где важны значение, контекст, знание и модальность.
Ценность принципа экстенсиональности в том, что он показывает, как логика достигает точности через отождествление по объёму. Но вместе с тем он напоминает: совпадение того, о чём говорится, не всегда означает совпадение того, как это мыслится.
Принцип экстенсиональности говорит: если элементы те же самые, множество то же самое; философия добавляет: но смысл может быть другим.